1)       직선이 축과 축과 에서  만난다고 하면 직선의 방정식은  

 또, 을 지나므로   구하고자 하는 넓이 는  

따라서 의 최대는 일 때(산술기하)이다. 즉,

2)        이 주어진 개의 자연수라 하자.   이라 두면 개의

  자연수를 더한 것은 이고  이다.개 중 자연수를 더하여 얻을 수 있는 수가 개이므로 번 중복되는 수가 반드시 개 있다. 그 수를 제외한 개의 수의 합을 라 하자. 그러면 에서   ∴   따라서 의 배수는 뿐이다.   그러므로 개의 자연수는   따라서 중복된 수는 이다.