Ⅰ. 집합과 수체계

1 . 집합과 명제

 (1) 집합의 포함관계

  ① ⊂A , A⊂A

  ② A⊂B , B⊂A 이면  A = B

  ③ A⊂B , B⊂C 이면  A⊂C

  ▶n(A) = m 인 A의 부분집합의 개수 : 2n

    n(A) = m 인 특별한 원소 a 개 포함하는 부분집합의 개수          : 2n-a

 (2) 집합의 연산법칙

  ① 교환법칙 : A∪B = B∪A , A∩B = A∩B                 A-B = B-A

  ② 결합법칙 : (A∪B)∪C = A∪(B∪C)    

               (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

  ③ 분배법칙 : A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

               A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

  ④ 흡수법칙 : (A∪B)∩A = A  ,  (A∩B)∪A = A

  ⑤ 드 모르간의 법칙 : (A∪B)c = Ac∩Bc ,  (A∩B)c = Ac∪Bc

  ⑥ 포함관계 : A⊂(A∪B)  ,  A⊃(A∩B)

  ⑦ 여집합과 차집합의 관계

    (Ac)c=A  ,   c=U  ,  Uc=   ,  A∪Ac=U  ,  A-B=A∩Bc

  ⑧ A★B = (A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B)

 (3) 명제와 조건

  ① 명제와 진리집합 : 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면,        (p q)  (P⊂Q)  ,  (p q)  (P=Q)

  ② p q의 참, 거짓 판별(p,q의 진리집합 P,Q)

     P⊂Q 이면 참(x∈p 이면 x∈Q)

     P Q 이면 거짓( x∈p, x Q)이 존재한다.( )

 (4) 명제의 역, 이, 대우

  ① 명제 p  q 에 대하여

     역 : q  p      이 : ∼p  ∼q       대우 : ∼q  ∼p

     명제 p  q가 참이면 역이나 이는 참이 아닐 수 있지만,

     대우 ∼q  ∼p는 반드시 참이다.

  ② 명제 p(x)  q(x) 가 참일 때, p와 q를 만족시키는 원소의          집합을 P, Q라 하면 P⊂Q 이고, p  q의 대우 ∼q(x)  ∼          q(x)도 참이므로 Qc⊂Pc이다.

 (5) 필요조건과 충분조건

  ① p  q 가 참일 때 p  q 로 나타낸다.

  ② p  q 일 때, q를 p이기 위한 필요조건, p를 q이기 위한 충분조건이라고 한다.

  ③ p  q 이고 q  p 일 때, p는 q이기 위한 필요충분조건이라 하고 p  q 로 나타낸다.

    이 때, p와 q는 동치라고 한다.

2 . 수체계

 (1) 실수의 연산

  ① 닫힌 성질

      a, b∈R  a b∈R     R은 연산 에 대하여 닫혀 있다.

     R은 , , ,  (0으로 나누는 것 제외)

  ② 교환 법칙  a*b=b*a

     a+b = b+a  ,  ab = ba

  ③ 결합법칙 (a*b)*c = a*(b*c)

     (a+b)+c = a+(b+c)

     (ab)c = a(bc)

  ④ 항등원 a e = e a = a  ,  e : 항등원

     a+e = e+a = a  ,  0 : 덧셈에 대한 항등원

     ae = ea = a  ,  1 : 곱셈에 대한 항등원

  ⑤ 역원 a x = x a = e(항등원)

     x는 에 대한 a의 역원

     a의 덧셈이 대한 역원 -a

     a의 곱셈에 대한 역원 -1

 (2) 실수의 대소 관계

  ① 실수 a에 대해 다음 중 어느 하나가 성립된다.

     a>0   ,   a=0   ,   a<0

  ② 두 수 a, b의 대소 관계

     a>b  a-b>0     a=b  a=b     a<b  a-b<0

  ③ a>0, b>0 일 때 a+b>0 , ab>0 ,  { a} over {b } >0

     a<0, b<0 일 때 a+b<0 , ab>0 ,  { a} over {b }  >0

  ④ a<b , b<c  a<c

  ⑤ a<b 일 때 a+c<b+c  ,  a-c<b-c

     a<b , c>0 이면 ac<bc  ,  

 { a} over {c }  <  { b} over {c }      a<b , c<0 이면 ac>bc  ,  

 { a} over {c }  >  { b} over {c }

  (3) 복소수의 상등

  a, b, c, d 가 실수일 때

  ① a+bi = 0  a=0이고 b=0

  ② a+bi = c+di  a=c이고 b=d

 (4) 복소수의 연산

  a, b, c, d 가 실수일 때

  ① (a+bi) (c+di) = (a c)+(b d)i

  ② (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

  ③ (a+bi)(a-bi) = a2+b2

  ④  { a+bi} over {c+di }  =  { ac+bd} over { { c}^{2 }+ { d}^{2 }   }  +  { bc-ad} over { { c}^{2 }+ { d}^{2 }   }i

  (단, c+di 0)

Ⅱ . 식과 그 연산

1 . 다항식의 사칙연산

 (1) 곱셈 공식

  ① (a+b)2 = a2+2ab+b2  ,  (a-b)2 = a2-2ab+b2

  ② (a+b)(a-b) = a2-b2

  ③ (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

     (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

  ④ (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3  ,  (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

  ⑤ (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

  ⑥ (a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = a4+a2b2+b4

  ⑦ (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) = a3+b3+c3-3abc

 (2) 곱셈 공식의 변형

  ① a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab

  ② (a-b)2 = (a+b)2-4ab  ,  (a+b)2 = (a-b)2+4ab

  ③ a3+b3 = (a+b)3-3ab(a+b)  ,  a3-b3 = (a-b)3+3ab(a-b)

④ a2+b2+c2-ab-bc-ca =  { 1} over {2 }  (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2

 ⑤ a2+b2+c2 = (a+b+c)2-2(ab+bc+ca)

2 . 항등식과 나머지정리

 (1) 항등식

  ① ax+b = 0 이 x에 대한 항등식       a=0  b=0 ( :and)

  ② ax+b = cx+d 가 x에 대한 항등식       a=c  b=d

  ③ ax2+bx+c=0  a=b=c=0

  ④ ax2+bx+c=a'x2+b'x+c  a=a' , b=b' , c=c'

 (2) 나머지정리와 인수정리

  ① 나머지정리

    f(x)를 x- 로 나눈 나머지  f( )

    f(x)를 ax+b로 나눈 나머지  f(-  { b} over {a } )

  ② 인수정리

    f(x)가 x- 로 나누어 떨어진다.  f( )=0    f( )=0  f(x) = (x- )Q(x)

            f(x)는 x- 의 인수를 갖는다.

3 . 인수분해

 (1) 인수분해 공식

  ① a2+2ab+b2 = (a+b)2  ,  a2-2ab+b2 = (a-b)2

  ② a2-a2 = (a+b)(a-b)

  ③ x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)

  ④ x3+3x2y+3xy2+y3 = (x+y)3  ,  x3-3x2y+3xy2-y3 = (x-y)3

  ⑤ x3+y3 = (x+y)(x2-xy+y2)  ,  x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2)

  ⑥ x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)2

  ⑦ x3+y3+z3-3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

  ⑧ x4+x2y2+y4 = (x2+xy+y2)(x2-xy+y2)

  ⑨ x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc = (x+a)(x+b)(x+c)

 (2) 두 개 이상의 문자를 포함한 식의 인수분해

  ① 차수가 같을 때 : 어느 한 문자로 정리

  ② 차수가 다를 때 : 낮은 차수로 정리

4 . 약수와 배수

 (1) 약수와 배수

  두 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하면

  ① A=aG , B=bG (a, b는 서로 소)

  ② L=abG         ③ AB=aG·bG=abG·G=LG

  ④ A+B, A-B, AB에도 G가 인수로 들어있다.

 (2) 양의 약수의 개수와 총합

  A=plqmrn(p, q, r은 서로 다른 소수, l, m, n은 자연수)

  ① 약수의 개수 : (l+1)(m+1)(n+1)개

  ② 약수의 총합 : (1+p+p2+  CDOTS  +pl)(1+q+q2+  CDOTS +qm)(1+r+r2+  CDOTS +rn)

5 . 유리식

 (1) 유리식의 계산

  A, B, C, D가 다항식일 때

  ①  { A} over {B } =  { A C} over {B C }   ,    { A} over {B } =  { A C} over {B C }

   ②  { A} over {B } =  { C} over {B }  { A C} over {B }   ,    { A} over {B } { AC BD} over {BC }

   ③  { A} over {B }  =  { D} over {C }  { AD} over {BC }   ,   { A} over {B } =  { D} over {C }

  { A} over {B } =  {C } over {D }  { AC} over {BD }

  ④ 번분수식 :  {  { D} over {C} } over { { A} over {B }  } =  { BD} over {AC }

   ⑤ 부분 분수 :

 { 1} over {AB } =  { 1} over {B-A } (  { 1} over {A } -  { 1} over {B }  ) . . . A<B이면 계산이 편리

 (2) 비례식

  a:b = c:d  ad=bc    { a} over {b } =  { c} over { d} 일 때 b, d 0

  ①  { a b} over {b } =  { c d} over {d }

  ②  { a+b} over {a-b } =  {c+d } over {c-d }

   ③ 가비의 리 :

 { a} over {b } =  { c} over { d} =  { e} over {f } =  {a+c+e } over {b+d+f } =  {pa+qc+re} over {pb+qd+rf }

                (단, b+d+f 0, pb+qd+rf 0)

6 . 무리식

 (1) 제곱근의 성질

  ①  SQRT { a2}  =  LEFT | a RIGHT | = a(a 0)        -a(a<0)

  ②  SQRT { a}  SQRT { b} =  SQRT { ab}   ,   SQRT {a}  SQRT { b} =-  SQRT {ab } (a<0, b<0)

③  { SQRT { a} } over { SQRT { b}  } =  SQRT { {a } over {b } }

  { SQRT { a} } over { SQRT {b }  } = -  SQRT { { a} over {b } } (a>0, b<0)

 (2) 무리식

  ① 분모의 유리화 (a>0 , b>0)

    { a} over { SQRT {b }  }  =  { a SQRT {b } } over {b }                

 {c } over { SQRT {a }- SQRT {b }   }  =  {c( SQRT { a}+ SQRT { b})   } over {a-b }

  ② 이중근호 (x>y>0)

     SQRT {(x+y)+2 SQRT {xy }  }   =  SQRT { x} +  SQRT { y}

  SQRT {(x+y)-2 SQRT { xy}  }   =  SQRT { x} -  SQRT { y}

   ③ 무리수의 상등

    a, b, c, d가 유리수이고  SQRT { m} 이 무리수일 때

    a+b  SQRT {m } =0  a=0이고 b=0

    a+b  SQRT { m}  = c+d  SQRT {m }    a=c이고 b=d

Ⅲ . 방정식과 부등식

1 . 이차방정식

 (1) 이차방정식의 해

  ① 인수분해 이용 : (x- )(x- )=0  x=  또는 x=

  ② 근의 공식

     b가 홀수일 때 : x=  {-b  SQRT { { b}^{2 }-4ac } } over {2a }

      b가 짝수일 때 : x=  { -b'  SQRT { { b'}^{2 } -ac} } over {a }

  (2) 이차방정식의 근의 성질

  이차방정식 ax2+bx+c=0에 대해 판별식 D=b2=4ac라 하면

  ① D>0  서로 다른 두 개의 실근

  ② D=0  중근

  ③ D<0  서로 다른 두 허근

  ④ 이차방정식이 실근을 가질 조건은 D 0이다.

(3) 이차방정식의 근과 계수와의 관계

  ① 이차방정식의 ax2+bx+c=0의 두 근을 ,  라 하면

    + =- { b} over {a }        =  { c} over {a }

   LEFT | alpha - beta  RIGHT | =  { SQRT { { b}^{2 }-4ac } } over { LEFT | a RIGHT |  }

   ② 두 근이 , 인 이차방정식은 (x- )(x- )=0에서

     x2-( + )x+ =0  x2-(합)x+(곱)=0

2 . 여러 가지 방정식

 (1) 삼, 사차방정식의 해법

  ① 인수정리를 이용

     f( )=0이면 (x- )Q(x)=0

     Q(x)는 조립제법을 이용해서 구한다.

  ② 삼차방정식의 근과 계수와의 관계

    ax3+bx2+cx+d=0의 세 근을,  라 하면

   + + =-  { b} over {a }        + + =  { c} over {a }        =-  { d} over {a }

   ③ 상반방정식 : 계수와 대칭을 이루는 방정식

     짝수차 :  { x}^{2 }  으로 나누어  { x}^{ } +  { 1} over {x } =t와 치환해서 푼다.

     홀수차 : 한 근이  { x}^{ } =-1이다.

 (2) 연립일차방정식

   ax+by+c=0 ,  a'x+b'y+c'=0

  ①  { a} over {a' }  ; x=  { b} over {b' }  { bc'-b'c} over {ab'-a'b }

   y=  { ca'-c'a} over {ab'-a'b }  

  ②  { a} over {a' }  =  { b} over {b' }  =  { c} over {c' }   ; 해가 무수히 많다.

  ③  { a} over {a' } =  { b} over {b' }   ; 해가 없다.  { c} over {c' }

  (3) 연립이차방정식

  ① 일차식=0 , 이차식=0  일 때

     일차식을 이차식에 대입

  ② 이차식=0 , 이차식=0  일 때

     둘 중 하나가 인수분해될 때, 인수분해해서 이차식에 대입

  ③ 이차식=0 , 이차식=0  일 때

     인수분해가 되지 않을 때, 최고차항을 소거하거나 상수항 소거

 (4) 부정방정식 : 실근 조건 D 0, A2+B2=0  A=B=0를 이용하거나      (일차식) (일차식)=(정수) 꼴로 변형하여 정수조건을 이용한다.

3 . 부등식

 (1) 부등식 ax>b의 해

  ① a>0일 때 : x>  { b} over {a }

              ② a<0일 때 : x<  { b} over {a }

   ③ a=0, b 0일 때 : 해없다.    ④ a=0, b<0일 때 : 해는 모든 실수

 (2) 중요한 부등식의 성질

  ① a>b>0    { 1} over {a } <  { 1} over {b }

   ② a>0, b>0일 때 a<b  a2<b2

③  LEFT | x RIGHT | <p(p>0)  -p<x<p  

 ④  LEFT | x RIGHT | >p(p>0)  x<-p or x>p

 (3) 이차부등식의 해법

  ① ax2+bx+c=0(a>0)이 서로 다른 두 실근 , ( < )를 가질 때

     ax2+bx+c<0   <x<

     ax2+bx+c>0  x<  or x>

  ② ax2+bx+c=0의 D=b2-4ac 0 일 때는 완전제곱식으로 변형하여       푼다.

 (4) 이차방정식의실근의 부호

  이차방정식이 ax 2+bx+c=0의 두 실근을, 라 하면

  ① 두 근이 모두 양  D 0 , + <0 , >0

  ② 두 근이 모두 음  D 0 , + <0 , >0

  ③ 한 근은 양, 다른 근은 음  <0

 (5) 이차부등식이 항상 성립할 조건

① 모든,  라 하면 �+  ,  라 하면 �+ -b)3                                                                                                                                                                                      

  ② 모든 x에 대하여 ax2+bx+c<0  a<0, D<0

 (6) 절대부등식

  ① a2 2ab+b2 0 (단, 등호는 a= b일 때 성립)

  ② a2+b2+c2 ab+bc+ca (단, 등호는 a=b=c일 때 성립)

  ③ (x2+y2)(x2+y2) (ax+by)2

  ④ a>0, b>0 일 때 :  { a+b} over {2 } (a=b일 때 등호 성립)

 SQRT { ab}   { 2ab} over {a+b }